Pavage

Un pavage est une partition d'un espace par un ensemble fini d'éléments nommé tuiles. Le plus souvent, on considère des pavages par translations, c'est-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles l'une de l'autre par une translation.



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Géométrie discrète - Pavage

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Pavage hexagonal d'un sol

Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l'espace tridimensionnel) par un ensemble fini d'éléments nommé tuiles (plus exactement, ce sont des compacts d'intérieur non vide). Le plus souvent, on considère des pavages par translations, c'est-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles l'une de l'autre par une translation (à l'exclusion des rotations ou symétries). Il existe aussi des pavages d'espaces non euclidien, les plus célèbres étant probablement les nombreux pavages de M. C. Escher (pavages d'espaces hyperboliques).

Pavages périodiques

Les pavages périodiques du plan ou de l'espace sont connus depuis l'antiquité et ont fréquemment été utilisés comme motifs décoratifs en architecture.

En cristallographie, ces pavages modélisent les arrangements périodiques d'atomes (cristaux). En 1891, le cristallographe et mathématicien russe Fedorov (Université de Saint-Petersbourg) a montré qu'il existait uniquement 17 types de pavages périodiques du plan (deux pavages sont de même type s'ils sont invariant par le même groupe d'isométrie, c'est-à-dire par rotations, symétries axiales et translations). Tous ces types, sauf deux, peuvent être réalisés par des pavages dont les tuiles sont toutes des polygones réguliers. L'Alhambra de Grenade est connu contenir des mosaïques illustrant tous ces types de pavages.

Deux pavages périodiques du plan avec la même symétrie d'ordre 6 (hexagonale)

Pavages apériodiques

Les mathématiciens ont longtemps pensé que les seuls pavages par translations du plan étaient obligatoirement périodiques.

Surtout, Hao Wang a conjecturé en 1961 que c'était le cas, et en a déduit qu'on pouvait concevoir un programme informatique qui déciderait si un jeu de tuiles donné permettait de paver ou non le plan. Cependant, en 1964, Robert Berger (un élève de Wang) a trouvé un ensemble de 20 426 tuiles ne pouvant paver qu'apériodiquement le plan. La conjecture est par conséquent fausse : savoir si un jeu de tuiles peut paver ou non le plan est indécidable.

Des jeux encore plus petits de tuiles ne pavant qu'apériodiquement ont depuis été trouvés :

En 1994, John Horton Conway et Charles Radin ont trouvé un jeu comportant une illimitété de tuiles mais qui, à rotation près, se réduit à une unique tuile : un triangle rectangle de côtés 1, 2 et  \sqrt 5. Le pavage obtenu est connu sous le nom de Pinwheel.

Pavages quasipériodiques

Parmi les pavages apériodiques, certains le sont moins que d'autres... en d'autres termes, on peut quantifier le degré d'apériodicité.

Dans cette voie, on peut citer par exemple les notions de récurrence et de récurrence uniforme (ou quasipériodicité).

Un pavage est dit récurrent si, lorsque un motif (ensemble fini de tuiles) apparait une fois, il apparait dans n'importe quelle zone suffisamment grande. Si, qui plus est , on peut fixer la taille de cette zone selon la taille du motif, alors le pavage est dit uniformément récurrent (ou quasipériodique).

Ainsi, un pavage uniformément récurrent du plan est tel que si on considère n'importe quel un motif apparaissant dans un cercle de rayon r tracé sur le pavage, alors il existe un nombre R tel qu'on puisse être sûr que ce motif réapparaisse dans n'importe quel cercle de rayon R tracé sur le pavage.

En particulier, les pavages périodiques sont uniformément récurrents (a fortiori récurrents). C'est aussi le cas du pavage de Penrose. En réalité, on peut montrer que si un jeu de tuile pave le plan, alors il peut aussi le paver de manière uniformément récurrente (la preuve repose sur un argument diagonal).

Bibliographie
  • Tangente n°99 : «L'art des pavages» (juillet-août 2004).

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